梅齊里亞克的砝碼
問題：一位商人有一塊重40磅的砝碼，由於跌落地面而碎成4塊，後來稱得每塊碎片的重量皆為整數磅，而且可以用這4塊來稱從1至40磅之間任意整數磅重的物體。則這4塊砝碼各重多少？
（本題源於法國數學家G.B.德．梅齊里應克（Gaspard Bachet de Meziriac，1581~1638），他在1624年出版的名著中解答了這個問題。）
解答：天平的兩個稱盤可以區分為砝碼盤和置物盤，在砝碼盤上只能放砝碼，而在置物盤上可以放砝碼和重物。若想用最少塊的砝碼來測重，就得把砝碼也放到置物盤上。例如，若欲稱一塊重2磅的物體，則可以將1磅的砝碼放在置物盤上而將3磅的砝碼放在砝碼盤上；如此不需2磅的砝碼卻可以稱出2磅重的物體。運用上述概念，此問題的解法如下：
假設已知有一砝碼組A、B、C．．．，將它們適當地分別放在砝碼盤與置物盤上便可以秤出從1至n（所有砝碼的重量和）的所有整數磅的重量。如果現在有一塊新砝碼X重p磅（p為整數），且其重量比原有砝碼的重量和（n）多n+1，即
p=2n+1，
假設已知有一砝碼組A、B、C．．．，將它們適當地分別放在砝碼盤與置物盤上便可以秤出從1至n（所有砝碼的重量和）的所有整數磅的重量。如果現在有一塊新砝碼X重p磅（p為整數），且其重量比原有砝碼的重量和（n）多n+1，即
p=2n+1，
則我們便可以將秤重範圍從1至n擴大到1至3n+1，理由如下：原砝碼組A、B、C．．．可以分配成-n磅（全部放在置物盤）到n磅（全部放在砝碼盤）的各種組合，因為p-n=n+1、p+n=3n+1，所以多了砝碼X之後，便可以秤(n+1)磅至(3n+1)磅的重量。再合併原砝碼組A、B、C．．．可以秤1磅至n磅的重量，我們得出：新砝碼組A、B、C．．．X可以秤出從1磅至(3n+1)磅之間的任意整數磅數的重量。
從以上分析，我們可以得出：商人的 4塊砝碼分別重1磅、3磅、9磅和27磅。下表是1到5塊的情形：
從以上分析，我們可以得出：商人的 4塊砝碼分別重1磅、3磅、9磅和27磅。下表是1到5塊的情形：
| 砝碼組重量 | 1 | 1、3 | 1、3、9 | 1、3、9、27 | 1、3、9、27、81 |
| 可秤重範圍 | 1 | 1~4 | 1~13 | 1~40 | 1~121 |
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